El rotor del campo electrostático es nulo en todos los puntos del espacio: \(\vec \nabla \times \vec E = \vec 0\)
- Todo campo electrostático ese irrotacional
Por lo que la circulación sobre cualquier curva cerrada es \(0\) (por teorema de Stokes)
\begin{align} \iint_{S(C)} ( \vec \nabla \times \vec E ) \cdot d\vec s = \oint \vec E \cdot d\vec l = 0 \end{align}Todo campo irrotacional es un campo conservativo, por lo que se puede afirmar que:
\begin{align} W_{campo-electrostático} = \oint_C \vec F_{electrostática} \cdot d\vec l = 0 \end{align}Y también se puede afirmar que el campo es el gradiente de una función potencial. (recordando condicion necesaria para que un campo tenga función potencial)
\begin{align} \vec E = - \vec \nabla V \end{align}La integral de linea no depende del camino. (sino de inicial y final):
\begin{align} \int_{\vec r_a}^{\vec r_b} \vec E \cdot d\vec l = -\int_{V(\vec r_a)}^{V(\vec r_b)} dV = -\left[ V(\vec r_b) - V(\vec r_a) \right] \end{align}Esta diferencia se llama potencial de \(b\) con respecto \(a\)
- La diferencia de potencial entre dos puntos se suele denominar voltaje.
Ahora teniendo una fuerza eléctrica, el trabajo que hace una fuerza externa igual y de sentido contrario desde \(\vec r_a\) hasta \(\vec r_b\) es:
\begin{align} W\underset{\text { el agente externo }}{\text { realizado por }} & =\int_{\vec{r}_{a}}^{\vec{r}_{b}} \overrightarrow{F_{\text {ext }}} \cdot d \vec{l}=\int_{\vec{r}_{a}}^{\vec{r}_{b}}-\overrightarrow{F_{e l}} \cdot d \vec{l}=\int_{\vec{r}_{a}}^{\vec{r}_{b}}-q \vec{E} \cdot d \vec{l} \\ & =q\left(-\int_{\vec{r}_{a}}^{\vec{r}_{b}} \vec{E} \cdot d \vec{l}\right) \\ & = q \left[ V(\vec r_b) - V(\vec r_a) \right] \end{align}\(V(\vec r_b) - V(\vec r_a)\) el potencial de \(b\) con respecto a \(a\), es igual al trabajo realizado por una fuerza externa para desplazar (cuasiestáticamente) una unidad de carga desde a hasta b.
\begin{align} \Delta V = \frac{W_{ext}}{q_0}\\ \end{align}Diferencia de potencial para un campo con \(N\) cargas puntuales. Surge de hacer la integral de línea del campo de una carga puntual, y por superposición se llega a:
\begin{align} V\left(\vec{r}_{b}\right)-V\left(\vec{r}_{a}\right) = -\int_{\vec r_a}^{\vec r_b} \vec E \cdot d\vec l = \sum_{i=1}^{N} V_{i}\left(\vec{r}_{b}\right)-V_{i}\left(\vec{r}_{a}\right)=\sum_{i=1}^{N} \frac{q_{i}^{\prime}}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{\left|\vec{r}_{b}-\vec{r}_{i}^{\prime}\right|}-\frac{1}{\left|\vec{r}_{a}-\vec r_{i}^{\prime}\right|}\right) \end{align}Distribución continua:
\begin{align} V\left(\vec{r}_{b}\right)-V\left(\vec{r}_{a}\right) = -\int_{\vec r_a}^{\vec r_b} \vec E \cdot d\vec l = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int\left(\frac{1}{\left|\vec{r}_{b}-\vec{r}^{\prime}\right|}-\frac{1}{\left|\vec{r}_{a}-\vec{r}^{\prime}\right|}\right) d q^{\prime} \end{align}Colocamos una referencia en el infinito:
- \(r_a \to \infty \land V(\vec r_a) = 0\)
Significaría el trabajo de una fuerza externa que hace una particula viniendo desde el infinito hasta \(\vec r\)
obs: Para distribuciones no acotadas de carga, no puedo colocar la referencia en el infinito.
Una equipotencial es una región del espacio para la que todo punto está al mismo potencial.
\begin{align} \vec E = - \vec \nabla V \end{align}- Desplazarse en la dirección del campo significa hacerlo en la dirección de V decreciente
- De aca concluimos que las líneas de campo tienen que ser perpendiculares a los conjuntos equipotenciales.